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はじめに　１０進数　２進数　８進数　１６進数

■はじめに

　知っているだけに、あえて基数の説明を書こうとすると精神的に非常に苦しいです。
　「こういうものだ！」としか言いようがないのですが、たまに悩む人がいるようなので本章を設けます

■１０進数

　一般的な解説ですが、１０進数は０〜９の数字を組み合わせて表現される数値です。
　１桁で１０に相当する値を表現する数字（文字）はありません。 ９ が最大の数字になります。
　最大値の９ の次は１と０で組み合わさた２桁の１０になります。

　これでは当たり前すぎるので、少し説明を加えます。

　一の位の数字で示される０〜９。十の位の数字で示される０〜９。
　双方の数字が同じであったとしても位の位置により数字の「重み」が変わります。
　普段から馴染みのある１０進数ですが、各位の「重み」を簡単にまとめると以下の様になります。

　例えば 1234 という数字であれば、
　　1234 = (1 * 1000) + (2 * 100) + (3 * 10) + (4 * 1)
となります。お金に例えれば、千円札が１枚、百円玉が２枚、十円玉が３枚、そして一円玉が４枚です。

　各位の「重み」について規則性があることがわかりますか？位が上がる度に１０倍されていますよね。
　十の位が１０で、百の位がその１０倍の１００。当たり前のことですが、これが重要です。
　では各位が１０倍されていることをまとめてみましょう。

　一の位だけ例外になりますが、その他の位は順番に１０倍されています。
　では、これを一歩進めて「べき乗」表現してみます。
　「べき乗」は「累乗」と表現されることがありますが、１つの数字同士を掛け合わせる操作です。
　表現としては、10 * 10 であれば２回の掛け合わせで 10² と表現します。例外的に 10⁰ は 1 になります。

　それでは各位の「重み」を「べき乗」を使って表現してみます。

　一の位から順番に「べき乗」の添字（掛け合わせる数）が＋１されています。

　つまり、１０進数では各位の「重み」は 10ⁿ で表現することができます。
　更に、10 が１０進数であることを示し、ⁿ が位（桁の位置）を示しています。

　続いて小数点以下を見てみましょう。
　これまでの算数の経験上、小数点以下第１位は０．１、小数点以下第２位は０．０１ですよね。
　この小数点以下の数字に対しても位に対する「重み」が重要です。

　例えば 1.234 という数字であれば、
　　1.234 = (1 * 1) + (2 * 0.1) + (3 * 0.01) + (4 * 0.001)
となります。

　各位の「重み」についてはこれまでと同様に規則性があります。各位を重ねるたびに１０分の１されています。
　では、各位が１０分の１されていることをまとめてみましょう。

　さて、今度は各位を「べき乗」で表現してみます。
　表現としては、 1 / 10 であれば1回の割り算で 10^-1 と表現されます。

　一の位から順番に「べき乗」の添字（割る数）が−１されていますね。
　これにより小数点以上、小数点以下に関わらず１０進数では各位の「重み」が 10ⁿ で表現することができました。

　以上が１０進数の特徴です。この考え方は後述の２進数、８進数、１６進数にも応用できる考え方です。

■２進数

　２進数は０、１の数字を組み合わせて表現される数値です。
　０、１に続いて、次は２では無く１０になります。同様に１０、１１に続くのは１００になります。
　以下に以下に２進数と、２進数の値に相当する１０進数の値をまとめます。

　１０進数と同様、２進数にも各位の「重み」があります。
　２進数では百や千と言った概念が無いので、ここでは桁（便宜上、０桁目から）で表記します。

　例えば、 1011 という２進数の数値であれば、
　　1011 = (1 * 8) + (0 * 4) + (1 * 2) + (1 * 1)
となります。結果としては、 8 + 2 + 1 = 11 この 11 は１０進数ですが、２進数で表現すれば 1011 になります。
　「掛け率」を順番に並べれば２進数、「重み」を加算すれば１０進数に相当する値になることに気が付きました？

　１０進数と同様、「重み」の規則性についてまとめてみます。１つ前（右）の桁に対して２倍されています。

　今度は各位の「重み」を「べき乗」を使って表現してみます。

　一の位から順番に「べき乗」の添字（掛け合わせる数）が＋１されています。
　１０進数の考え方と同様、２進数では各位の「重み」は 2ⁿ で表現することができます。
　更に、2 が２進数であることを示し ⁿ が位（桁の位置）を示しています。
　なお、この考え方は２進数から１０進数への変換、１０進数から２進数の変換の時に必要な概念です。

　コンピュータの内部では電気のオンとオフの２通り、２進数の世界ですから。１０進数は人間用と思ってください。

　続いて小数点以下を見てみましょう。
　２進数における小数点以下の表現は余り見かけませんが、試験で出題されることがあります。

　例えば 1.010 という２進数の数値であれば、
　　1.010 = (1 * 1) + (0 * 0.5) + (1 * 0.25) + (0 * 0.125)
となります。計算上は、1 + 0.25 = 1.25 この 1.25 は１０進数ですが、２進数で表現すれば 1.010 になります。

　各位の「重み」についてはこれまでと同様に規則性があります。各位を重ねるたびに２分の１されています。
　では、各位が２分の１されていることをまとめてみましょう。

　さて、今度は各位を「べき乗」で表現してみます。
　表現としては、 1 / 2 であれば1回の割り算で 2^-1 と表現されます。

　一の位から順番に「べき乗」の添字（割る数）が−１されていますね。
　これにより小数点以上、小数点以下に関わらず２進数では各位の「重み」が 2ⁿ で表現することができました。

　以上が２進数の特徴です。

　「べき乗」の説明を先にした方がわかりやすいかもしれませんが、本章では、結果から「べき乗」を導いています。
　上から下へ説明を読んだ後、下から上に向かって説明を読むと理解しやすいかもしれませんね。

■８進数

　ほとんど使う機会がなく、今では試験対策用の８進数ですが…。

　８進数は０〜７の数字を組み合わせて表現される数値です。
　０、１…６、７に続いて、次は８ではなく１０になります。同様に１６、１７に続くのは１００になります。
　以下に８進数と、８進数の値に対応する２進数と１０進数の値をまとめます。

　１０進数と同様、８進数にも各位の「重み」があります。
　８進数では百や千と言った概念が無いので、ここでは桁（便宜上、０桁目から）で表記します。

　例えば、 1011 という８進数の数値であれば、
　　1011 = (1 * 512) + (0 * 64) + (1 * 8) + (1 * 1)
となります。結果としては、 512 + 8 + 1 = 521 この 521 は１０進数ですが、８進数で表現すれば 1011 になります。
　「掛け率」を順番に並べれば８進数、「重み」を加算すれば１０進数に相当する値になります。

　１０進数と同様、「重み」規則性についてまとめてみます。１つ前（右）の桁に対して２倍されています。

　今度は各位の「重み」を「べき乗」を使って表現してみます。

　一の位から順番に「べき乗」の添字（掛け合わせる数）が＋１されています。
　１０進数の考え方と同様、８進数では各位の「重み」は 8ⁿ で表現することができます。
　更に、8 が８進数であることを示し ⁿ が位（桁の位置）を示しています。
　なお、この考え方は８進数から１０進数への変換、１０進数から８進数の変換の時に必要な概念です。

　以上が８進数の特徴です。

　…。

　小数点以下の記述が抜けてますね…。試験以外では利用する機会はありませんので割愛します。
　決して、桁が増えて記述が面倒…。ってことではありません ^ ^ ;
　仮に利用する機会がある場合は、前述の２進数における小数点以下の考え方を各自で応用してみてください。

　余談ですが、Ｃ言語で８進数の数値を表現する場合は数値の前に「0（ゼロ）」を付与します。
　056 であれば８進数の 56（１０進数では 46 相当） 、単に 56 であれば１０進数の 56 になります。

　Ｃ言語のコーディングでdefineというのがあり、これを利用して数値の宣言を記述している際に失敗をしたことがあります。

　＜最初の記述＞
　　#define　　xxx_19 　　19
　　#define　　xxx_320　　320

　数値の記述で桁がズレるので、見栄えを良くする為に、ささやかな変更を加えました。本人は自己満足です。

　＜失敗した記述＞
　　#define　　xxx_019　　019
　　#define　　xxx_320　　320

　この余計なことをコンパイラは見逃しません。しっかりエラーで返します。

　何が間違っているか、冷静に見ればすぐにわかりますよね。
　ですが、忙しい時には原因がわかるまで思考が右往左往します。時には不具合を見逃す可能性があります。

　以後は同じ誤りをしていませんが、値によってはエラーにならない場合があるので注意が必要です。

■１６進数

　２進数と同様、確実に押さえておかなければならない基数です。
　普段は電卓を使用して基数変換を行う事が多いと思いますが、基数変換の規則はしっかり理解しておきましょう。

　１６進数は０〜９の数字、Ａ〜Ｆの英字、全１６種類の英数字を組み合わせて表現される数値です。
　０、１…８、９に続いて、次はＡとなり、Ｄ、Ｅ、Ｆと続いて、その次は１０になります。
　以下に１６進数と１６進数の値に対応する２進数と１０進数の値をまとめます。

　他の基数と同様、１６進数にも各位の「重み」があります。
　１６進数では百や千と言った概念が無いので、ここでは桁（便宜上、０桁目から）で表記します。

　例えば、 1011 という１６進数の数値であれば、
　　1011 = (1 * 4096) + (0 * 256) + (1 * 16) + (1 * 1)
となります。結果としては、4096+16+1=4113この4113は１０進数ですが、１６進数で表現すれば1011になります。
　「掛け率」を順番に並べれば１６進数、「重み」を加算すれば１０進数に相当する値になります。

　１０進数と同様、「重み」規則性についてまとめてみます。１つ前（右）の桁に対して２倍されています。

　今度は各位の「重み」を「べき乗」を使って表現してみます。

　一の位から順番に「べき乗」の添字（掛け合わせる数）が＋１されています。
　１０進数の考え方と同様、１６進数では各位の「重み」は 16ⁿ で表現することができます。
　更に、16 が１６進数であることを示し ⁿ が位（桁の位置）を示しています。
　なお、この考え方は１６進数から１０進数への変換、１０進数から１６進数の変換の時に必要な概念です。

　以上が１６進数の特徴です。